三角形は、３つの辺と３つの角を持つ平面図形です。三角形の特徴の１つは、３つの角の大きさの合計が常に180度であることです。では、なぜ三角形の内角の和は180度になるのでしょうか？
三角形の内角の和とは何ですか？
三角形の内角の和とは、三角形の３つの角の大きさを足し合わせた値のことです。三角形の３つの角の大きさをそれぞれa、b、cとすると、三角形の内角の和はa＋b＋c＝180度となります。
三角形の内角の和の証明
三角形の内角の和が180度になることを証明するためには、幾何学的な証明があります。以下に、その証明を示します。
図１を見てください。
図１のように、三角形ABCの内角A、内角B、内角Cをそれぞれa、b、cとします。
次に、図２を見てください。
図２のように、三角形ABCの内角Aに対して、直線DEを引きます。このとき、図形ABEDは四角形であるため、その内角の和は360度です。同様に、図形BCDFの内角の和も360度です。
図形ABEDの内角のうち、三角形ABCの内角Aと同じである角をa’とします。また、図形BCDFの内角のうち、三角形ABCの内角Bと同じである角をb’とします。
ここで、a’＋b’＋c＝360度です。しかし、a’＋b’は、直線DEが直線BCと平行であるため、補角定理により180度になります。つまり、a’＋b’＝180度です。
したがって、a’＋b’＋c＝180度＋180度＝360度となります。しかし、先程はa’＋b’＋c＝360度となったため、以下の式が成立します。
180度＋180度＝360度
この式が示すように、三角形ABCの内角の和は180度であることが証明されました。
三角形の内角の和の性質
三角形の内角の和が180度であることには、以下の性質があります。
性質１：３角形の内角のうち、最大の角は90度以下である。
三角形の内角の和が180度であるため、三角形の内角のうち、最大の角は90度以下であることがわかります。この性質は、三角形の中に直角三角形が含まれることを示すために役立ちます。
性質２：３角形の内角のうち、２つの角の和が残りの１つの角よりも大きい。
三角形の内角の和が180度であるため、三角形の内角のうち、２つの角の和は残りの１つの角よりも大きいことがわかります。この性質は、三角形の種類を判別するために役立ちます。
三角形の内角の和が重要な理由
三角形の内角の和が180度であることは、数学だけでなく、実生活でも重要な役割を果たします。以下に、その例をいくつか挙げます。
例１：地図の作成
地図を作成する際には、三角測量と呼ばれる方法が使われます。三角測量では、三角形の辺の長さと角の大きさを測定して、地図上の距離や方向を計算します。三角形の内角の和が180度であることは、三角形の角度を正確に計算するために欠かせない性質と言えます。
例２：建築物の設計
建築物を設計する際には、三角形の性質が多く使われます。たとえば、建物の壁を垂直に建てるためには、直角三角形を利用します。また、建物の屋根を設計する際には、三角形の辺の長さと角度を計算して、屋根の傾斜角を決定します。
例３：コンピューターグラフィックス
コンピューターグラフィックスにおいても、三角形の性質が重要な役割を果たしています。３次元の物体を表現する際には、三角形を使って表面を分割します。このとき、三角形の内角の和が180度であることが、表面の形状を正確に表現するために必要となります。
まとめ
三角形の内角の和が180度であることは、三角形の性質を理解する上で欠かせない知識です。三角形の内角の和が180度であることを証明するためには、幾何学的な証明があります。また、三角形の内角の和が180度であることには、地図の作成や建築物の設計、コンピューターグラフィックスなど、実生活でも重要な役割があります。
