数学において、加法定理とは、三角関数の和の公式のことを指します。
具体的に、sin(x+y)=sinxcosy+cosxsinyという式があります。
この式を使って、sinxcosx=1/2sin2xという式を導くことができます。
加法定理の証明
まず、以下の式を考えます。
sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx
ここで、sinxcosxの項を取り出します。
sinxcosx=(sin2x-cos2x)/2
また、cos2x=1-sin2xであるため、sinxcosx=(sin2x-(1-sin2x))/2=1/2sin2x
以上より、sinxcosx=1/2sin2xが導かれました。
応用例
この式を使えば、sin2xやcos2xをsinxやcosxで表すことができます。
例えば、sin2x=2sinxcosxという式がありますが、これはsinxcosx=1/2sin2xを使って導くことができます。
sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
同様に、cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2xを使って、cos2xをsinxやcosxで表すこともできます。
まとめ
加法定理を使って、sinxcosx=1/2sin2xという式を導くことができました。
この式は、sin2xやcos2xをsinxやcosxで表す際に有用です。
加法定理を理解することで、三角関数の問題を解く際に役立つことがあります。
